Lucka Žoltá

Podmíněná pravděpodobnost

Ptáme se na pravděpodobnost jevu A za podmínky B (když víme že došlo k jevu B), což značíme jako P(A|B).

Víme-li že došlo k jevu B, pak se na obrázku vpravo pohybujeme pouze v množině B, zbytek diagramu můžeme odmyslet. Celý svět popsaný obrázkem vpravo původně čítající celkem 8 možných jevů (8 puntíků) se nám tak zúžil na množinu B obsahující všehovšudy 3 jevy.

Ptáme-li se na P(A|B), ptáme se na pravděpodobnost že dojde k jevu A v množině B. Počet jevů A v množině B (počet příznivých jevů) je |A∩B| = 2. Počet všech jevů v množině |B|=3  => P(A|B) = |A∩B| / |B|. Jelikož mohutnost množin je vesměs popsána pravděpodobností, odtud pak:

P(A|B)  = P(A∩B) / P(B)

Stromový graf pravděpodobností

K tomu, abychom si dokázali lépe zorientovat ve více navzájem závislých jevech, nám poslouží stromový graf.

Příklad na podmíněnou pravděpodobnost

Máme falešnou kostku danou modrou síti na obrázku níže.

A) Kolega hodil kostkou a řekl že padlo sudé (párné) číslo. Jaká je pravděpodobnost že mu padlo číslo větší než 5?

P - jev padlo párné (sudé) číslo

>5 - jev padlo číslo větší než 5

P (>5 | P ) - pravděpodobnost že padlo číslo větší než 5, když vím že padlo párné číslo

Řešení 1: Použiju vzorec. P (>5 | P ) = P (P ∩ >5 ) / P( P ).

P( P ) - pravděpodobnost že padne párné číslo {2,4,6,6 } = 4/6 = 2/3. Viz. obr. vpravo.

P (P ∩ >5 ) - pravděpodobnost že padne párne číslo a zároveň číslo větší než pět = 2/6 = 1/3. Viz. obr. vpravo.

P (>5 | P ) = (1/3) / (2/3) = 1/3 * 3/2 = 1/2

Řešení 2: Z diagramu v pravo je patrné že párné číslo může padnout pouze ve 4 případech. Z toho ve 2 případech padne číslo větší než pět => P (>5 | P ) = 4/2 = 1/2

B) Sestavte stromový diagram a pomocí něj zodpovězte otázky:

• Jáká je pravděpodobnost, že padne párné číslo větší než 5?
• P ( ≤5 | N ) = ?
• Padlo nepárné číslo, jaká je pravděpodobnost že bylo menší než pět?
• P (N ∩ ≤5 ) = ? 
• Jáká je pravděpodobnost, že hodím nepárné číslo menší než pět? 
• P (N ) + P (P) = ?
• P ( ≤5 | N ) + P ( >5 | N ) =? 
• Jaká je pravděpodobnost že padne číslo menší než 5 když víme že padlo párne?
• Kde je na obrázku chyba?