Lucka Žoltá

Typy binárních relací

Mezi nejznámější binární relace patří ekvivalenece (=) a uspořádání (<,>, ≤, ≥).

Ekvivalence

Ekvivalence je binární relace, která je

• reflexivní (všechna a ∈ A platí (a, a) ∈R)
  a=a
• symetrická (pokud (a, b) ∈ R, pak (b, a) ∈ R)
  když a=b, pak b=a 
• tranzitivní (pokud (a, b) ∈ R a (b, c) ∈ R, pak (a, c) ∈ R)
  když a=b a b=c, pak se musí a=c

Třída ekvivalence prvku a - je množina všech prvků ekvivalentních s daným prvkem a.

Uspořádání

Binární relaci nazveme neostrým uspořádáním pokud je:

• reflexivní  (všechna a ∈ A platí (a, a) ∈R)
  a ≤ a, a ≥ a 
• antisymetrická, jestliže pro všechna a, b ∈ A platí, že pokud (a, b) ∈ R a (b, a) ∈ R, pak a = b.
  když  a ≤ b a zároveň b ≥ a, pak se musí a=b
• tranzitivní (pokud (a, b) ∈ R a (b, c) ∈ R, pak (a, c) ∈ R)
  když a ≤ b a b ≤ c, pak se musí a ≤ c

• asymetrická, jestliže pro všechna a, b ∈ A platí, že pokud (a, b) ∈ R, pak (b, a) ∉ R. 
  když a > b pak nemůže platit b > a
• ireflexivní, jestliže pro všechna a ∈ A platí (a, a) ∉R.  
  nemůže platit a < b
• tranzitivní (pokud (a, b) ∈ R a (b, c) ∈ R, pak (a, c) ∈ R)
  když a > b a b > c, pak se musí a > c

Uspořádání je úplné (lineární) pokud neexistují neporovnatelné prvky.

Minimum - je prvek menší než všechny ostatní.

Maximum - je prvek větší než všechny ostatní.

 

Infimum množiny B (inf B) - je největší prvek, který je však pořád menší než prvky množíny B.

Suprebum množiny B (sup B) - je nejmenší prvek větší než prvky množiny B.