Algebra

Algebra je odvětví matematiky zabývající se objekty (abstraktní pojmy, struktury) a vztahy mezi nimi (operace).

Příklady algeber:

( ℕ , {+2} ) - sčítání nad množinou přirozených čísel
( 2M , {∩,∪} ) - mnozina vsech podmnozin M s operacemi prunik a sjednoce

Definice: Univerzální algebra je dvojice (A, FA) kde:
  • A je nosič algebry - množina objektů (čísilek, proměnných, a čertví čeho ještě)
  • FA množina operací nad A

Nejznámější algebrou je elementární algebra zabývající se řešením rovnic a jejich soustav.

Operace je zobrazení z kartezského součinu jednich množin do kart.součinu jiných množin A1 × A2 × A3 ... → A i × A i+1. V algebře se pracuje zejména s n-ární operaci, která zobrazuje kartezský součin množin A1 × A2 × ... × An → A. Podle n se pak dělí na:

  • nulární - spíše teoretická operace bez vstupu, ale dá se pod ní představit třeba konstanta.
  • unární - na vstupu má jeden prvek, který převede na druhý. Např. operace absolutní hodnoty, převod znamének.
  • binární - nejčastější operace pracující s dvěmi prvky. Např. sčítání, odčítání, mocnění,...
  • ternární - na vstupu ma tři prvky. Například operace IF(podmínka, true-vysledek, false-vysledek)
  • n>3 ární operace se pak používají v programování a chápeme metody, funkce a procedury s více parametry.
  • unární - operace pracujíí

Vlastnosti:

  • komutativita - nezáleží na pořadí prvku v operaci. a op b = b op a
  • asociativita - nezáleží na závorkách.  a op (b  op c) = (b op a)  op c
  • s neutrálním prvkem - který nezmění výsledek (0 u sčítání, 1 u násobení)
  • s agresivním prvkem - který změní výsledek na sebe (0 u násobení)
  • s inverzními prvky - každý prvek lze převést na inverzní
  • distributivita -  schopnost převést jednu operaci na druhou  
Příklady grupoidů:

G1(R, +) - sčítání nad množinou reálných čísel
G2 (R , *) - násobení nad množinou reálných čísel

Grupoid je algebraická struktura s jednou operaci a množina A je vůči této operaci uzavřena. (A, op) a op a = a.

Konečný grupoid - je grupoid na konečné množině A. Ten se dá vyjádřit pomocí Cayleyovy tabulky (sloupce i řádky tvoří prvky množiny A a prvky tabulky značí výsledek operace ai op aj)

Podle vlastností pak rozlišujeme několik typů grupoidů:

  • Podgrupa - asociativní grupoid (asociativní)
  • Monoid - podgrupa s neutrálním prvkem  (asociativní + neutrální prvek)
  • Grupa - monoid s inverznímy prvky  (asociativní + neutrální + inverzní prvek)
  • Alebová grupa - komutativní grupa  (asociativní  + neutrální + inverzní prvek + komutativní)
Příklad: Je (A,{+,*}) okruh?
  • Komutativní + ? ANO: a+b = b+a. Komutitativní *? ANO:  a+b = b+a.
  • Asociativní +? ANO: a+(b+c) = (b+a)+c. Asociativní *? ANO: a*(b*c) = (b*a)*c 
  • Neutrálním prvky? ANO:  pro + 0, pro *1.
  • Inverzními prvky? ANO u sčítání je inverzní prvek k 1-a. U násobeni je 1/a 
  • Distributivita? ANO: a*(b+c) = (a*b)+(a*c)

 

Okruh je algebra s dvěmi operacemi pro které musí platit: 

  • komutativita
  • asociativita
  • neutrální prvek
  • inverznímí prvky
  • distributivita

 

Homomorfismus - zobrazení, které převádí jednu algebraickou strukturu na jinou stejného typu.

Pokud existuje zobrazení které je dokáže převést i zpátky, pak se jedná o izomorfismus. Viz. obrázek dole.


Boolová algebra - je algebra, kde nosič A = {0,1} a operace F = {∧,∨,¬}. Jsou pro ní definovány axiomy pro:

  • komutativitu: a ∧ b = b ∧ a.  a ∨ b = b ∨ a.
  • distributivitu:  a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨  (a ∧ c).  a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
  • neutrální prvky: 0 ∨ a = a. 1 ∧ a = a.
  • agresivní prvky: a ∧ ¬a = 0.  a  ∨  ¬a = 1.
  • nedegerovatelnost: 0≠1
Kam dál?