Projektivní prostor

Projektivní prostor vzniká z potřeby vyrovnat se s nevlastními body (body v nekonečnu) se kterými se špatně počítá. Projektivní prostor využívá homogenních souřadnic

Homogenní souřadnice

Zavádíme proto abychom mohli reprezentovat body v prostoru o jednu dimenzi větším. To usnadňuje nejrůznější výpočty (viz. transformace níže).

Převod na homogenní souřadnice je jednoduchý. K bodu v afinním prostoru přidáme novou souřadnici, s libovolným reálným číslem různým od nuly a přenásobím jí zbylé souřadnice původního bodu.

Bod (x, y) má v homogenní souřadnice (xw, yw, w), kde w≠0. 

Pro bod v nekonečnu je w=0. 

Při převodu zpět (z homogenních souřadnic), stačí zas tou poslední vše vydělit a pak ji odstranit.

Transformace v projektivním prostoru

Transformace je díky homogenním souřadnicím jednodušší, protože k ní stačí pouze transformační matice. Na rozdíl od afinní transformace, která ještě měla zvlášť vektor posunu.

Bod v afinním prostoru (kartezsky souřadný systém)

  x'  
y'

=
  a00 a01  
a10 a11
  x  
y

+
  bx  
by
Bod v projektivním prostoru s homogenním souřadný systém

  x'  
y'
1


=
  a00 a01 bx  
a10 a11 by
0 0 1
  x  
y
1
Příklady transformační matice

Posunutí
  1 0 bx  
0 1 by
0 0 1
Otočení
  cos α -sin α 0  
sin α cos α 0
0 0 1
Změna měřítka
  z 0 0  
0 z 0
0 0 1
z>1 zvětšení, z<1 zmenšení
Zkosení:
  sh 0 0  
0 sh 0
0 0 1




V počítačové grafice

V počítačové grafice se záhy převádí souřadnice na homogenními souřadnicemi. Například u středového promítání, které umožňuje promítat perspektivu, se počítá téměř výhradně s homogenními souřadnicemi. Před vykreslením obrazu je však třeba se vrátit do afinního prostoru a přepočítat homogenní souřadnice na kartézské. Než dojde k převodu, je třeba ořezat afinní prostor do konečného zorného obrazu, tedy vyhodit nevlastní body obsahující nulu v poslední homogenní souřadnici. Při převodu by se touto nulou muselo dělit, což by byl problém.