Afinní prostor

Afinní prostor je prostor s body. Dále obsahuje přidruženým vektorový prostor (souřadný systém) pomocí kterého je možné jednotlivé body prostoru zaměřit. Součásti afinního prostoru je také zobrazení, které přiřadí dvojici bodů vektor. 

Ukázka afinního prostoru

V trojrozměrném afinním prostoru A3 máme bod X. Bod má souřadnice x=(x1, x2, x3). Vektor x je prvek onoho přidruženého vektorového prostoru.

Euklidovský prostor je afinní prostor v kterém je zaveden skalární součin a norma coby odmocnina skalárního součinu. To umožňuje měřit délku vektorů a úhly mezi nimi.

Afinní transformace

Afinní transformace je zobrazení bodů jednoho afinního prostoru do jiného. Speciální případ je afinita, což je bijektivní zobrazení bodů afinního prostoru do téhož afinního prostoru.

Příklady transformační matice

 

  cos α -sin α  
sin α cos α

Otočení:

 

  z 0  
0 z

Změna měřídka: 

z>1 zvětšení
z<1 zmenšení

  sh 0  
0 sh

zkosení:

 

Afinní transformace je založena na posunutí, otočení, zkosení a zvětšení. Matematické vyjádření transformace je 

y = Ax + b,

kde x je původní bod, y transformovaný bod, A je transformační matice způsobující zkosení, otočení a zvětšení a b je druhý parametr transformace mající na starosti posunutí. 

Ortonormální transformace je transformace při které se nezmění délky a úhly transformovaných objektů. Transformační matice A u ortonormální transformace musí mít takový tvar aby platilo:

A-1 = AT