Matematická logika

Matematická logika je věda o správném usuzování a o umění správné argumentace. Obecně můžeme úsudek charakterizovat takto:

Na základě pravdivosti předpokladů (premis) P1,...,Pn je možno soudit, že je pravdivý i závěr Z.

 

Příklad:                                  

Premisa 1: Všechny muchomůrky zelené jsou prudce jedovaté.

Premisa 2: Tomáš je muchomůrka zelená.

----------------------------------------------------------------------

Závěr: Tomáš je prudce jedovatý.

 

Tento úsudek je logicky platný. Závěr je však nepravdivý, protože premisa č.2 je nepravdivá. Kdyby byla pravdivá, tak můžeme říct, že je pravdivý i závěr.

 

Deduktivně platné úsudky jsou takové, kdy závěr Z logicky vyplývá z předpokladů P1,...,Pn , značíme P1,...,Pn |= Z, jestliže za žádných okolností nemůže nastat případ takový, že předpoklady (premisy) by byly pravdivé a závěr nepravdivý. (1 ⇒0).

Některé úsudky jsou natolik jednoduché a zřejmé, že je můžeme vyřešit pouhým selským rozumem. Občas mohou být ale natolik zamotány do sebe, že je nutno použít znalost logiky a jejich metod pro ověřování logického vyplývání.

Pro ověřování deduktivně správných úsudků slouží logické systémy, které zkoumají skladbu vět (konstrukci složených výrazů). Tyto systémy se liší vzájemně svou expresní silou - do jaké hloubky lze analyzovat jednotlivé výrazy, abychom z nich mohli odvodit všechny závěry a ověřit správnost úsudku. K příkladům těchto logických systemů patří:

  • Výroková logika (VL – logika 0-tého řádu) umožňuje analyzovat pouze do úrovně elementárních výroků. Primitivní formule (výrokové proměnné) nemají žádnou vnitřní stavbu a jejich jediným atributem je pravdivostní hodnota.
  • Predikátová logika 1. řádu (PL1) umožňuje navíc analyzovat elementární výroky do úrovně vlastností jednotlivých objektů a jejich vztahů. Pracuje s formulemi (predikáty), přidává k nim kvantifikátory a udává vztah predikát-idividuum. Individuum je prvek z nějaké množiny (univerza) a predikát je relace na této množině.
  • Predikátové logiky vyšších řádů (PLn) umožňují navíc analyzovat vlastnosti vlastností, vlastnosti funkcí, atd.

 

  Čerpáno ze skript Logika pro Informatiky (Doc. RNDr. Marie Duží)