Kytice

Příklad na vytvarajúcu posloupnost (kombinování s podmínkou)

Při vázání kytek do kytice jsou dány tyto podmínky:

  • kytice může obsahovat maximálně 3 lilie
  • kytice musí obsahovat alespoň 4 červené růže
  • kytice musí obsahovat nepárný (lichý) počet bílých růží

Kolik různých kytic mohu uvázat
a) ze tří kusů kytek        b) ze čtyř kusů kytek          c) z šesti kytek?          b) z jedenácti kytek?            c) z n kytek?


 Příklad vyřešíme nejdřívě obecně pro n kdytek a pak si za n dosadíme 6 a 11.

1. Vytvoříme si posloupnosti jednotlivých podmínek a k nim vytvárajúce funkce

Posloupnost tvořím tak že se ptám: "Kolik možností mám umístit 0 / 1 / 2 / 3 / 4 / 5 / 7 /...  lilí / červených růží / bílých růží do kytice?" Tip: najeď myší na prvek následujících posloupnosti.

Podmínka slovněPodmínka v posloupnostiPodmínka ve vytvarajúcí funkci
max 3 lilie : < 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0,...> 1 + 1x1 + 1x2 + 1x3
min 4 červené růže : < 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1 ...> x4/ (1-x)

nepárný počet bílých růží:

(0 je párná)

<0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...> x / (1-x2)


2. Vynásobíme vytvarajúce funkce

Jelikož vynásobit rovnou posloupnosti neumíme :(, tak to musíme prohnat přes jejich funkce. A proč násobíme? Protože ke každé z možnosti jak umístit do kytice lilie může být libovolná z možností jak tam umístit červené růže, atd.

(1 + x1 + x2 + x3) * x4/ (1-x) * x / (1-x2) = x5(1 + x1 + x2 + x3) / ((1-x)(1-x2)) =

= x5(1 + x1 + x2 + x3) / ((1-x)(1-x)(1+x)) = x5(x2 + 1)(x + 1) / ((1-x)(1-x)(1+x)) =

= x5(x2 + 1) / ((1-x)(1-x)) = x5(x2 + 1) / (1-x)2

Kdybchom z této funkce (který nám zbyl po vykrácení všeho zbytečného) byli schopni dostat zpátky posloupnost, měli bychom vystaráno a nemuseli bychom už nic řešit. Co můžeme funkce zatím vyčíst je, že výsledná posloupnost bude začínat 5ti nulami (protože v čitateli je x5). Zde si zapomatuju že do výsledné posloupnosti vložím na začátek 5 nul a dál budu pracovat s funkcí

(x2 + 1) / (1-x)2

Bohužel už nic víc o posloupnosti z této funkce nevyčteme a nezbývá nám nic jiného než ji převést na součet pěkných zlomků (sčítat posloupnosti není problém narozdíl od násobení), tedy:

3. Rozklad na parciální zlomky

Abychom si úplně nezavařili hlavičky, použijeme wolfram ;)

(x2 + 1) / (1 - x)2 =       - 2 / (1 - x)   +  2 / (1 + x )2   +    1

 

-2 / (1-x)   <->   <-2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2, -2,... >

2 / (1+x)2  <->   <2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24...> = 2 * <1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...>

1               <->  <1, 0, 0, 0,  0,  0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,...>

suma         <->  <1, 2, 4, 6,  8, 10,  12, 14, 16, 18, 20, 22,...>

Zde si vzpomenu na zapomenuté x5, které jsme si odložili v bodě 3 a do výsledné posloupnosti vložím 5nul na začátek.

<0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 4, 6,  8, 10,  12, 14, 16, 18, 20, 22,...>

4. Z posloupnosti přečteme odpovědi

a) Kolik různých kytic uvážu z 3 kusů kytek? Podívám se na 4. prvek posloupnosi a vím že žádnou.

Proč? Protože v podmínkách na začátku bylo že kytice musí mít minimálně 4 červené růže.

a) Kolik různých kytic uvážu z 4 kusů kytek? Podívám se na 5. prvek posloupnosi a vím že žádnou.

Proč? Můžu mít čtyři červené růže (ČČČČ)! Nemůžu, protože v podmínce na začátku jsme si řekli že 0 je párná a kdybychom měli jen 4 červebé růže, pak by to znamenalo že máme 0 bílých růží tedy párný počet bílých růží, což je zakázáno.

b) Kolik různých kytic uvážu z 6ti kusů kytek? Podívám se na 7. prvek posloupnosi a vím že odpověď je 2 kytice.

ČČČČBL, ČČČČLL protože 0 (práný počet Bílých růží), ČČČČČL, ČČČČBB protože 2 (práný počet Bílých růží), ČČČLLB protože málo Červených růží.

c) Kolik různých kytic uvážu z 11ti kusů kytek? Podívám se na 12. prvek posloupnosti (první prvek hovoří o 0ks) a vím že 12 kytic.

d) Kolik různých kytic uvážů z n kusů kytek? 2n kytic pro n>5 , 0 kytic pro n<5, 1 kytici pro n=5

 

 

Kam dál?