Squatteři
Příklad na kombinační a multinomické čísla.
Devět squatterů (Andrej, Boris, Cyrilka, Dáša, Emanuel, Filip, Gabo, Hedvika, Igor) si potřebuje rozdělit domácí práce v okupovaném baráku. Přičemž je třeba 3 lidi na mytí nádobí, 2 lidi na vaření, 2 deratizátory, 1 na vynášení smetí a 1 na držení hlídky. Kolika různými způsoby si mohou práce rozdělit?
Např. Jeden způsob je: nádobí = {A, B, C}, vaření = { D, E }, deratizátoři = { F, G }, smetí = { H }, hlídka = { I }. Stejný způsob rozdělení ale jinak zapsaný je: nádobí = {B, A, C}, vaření = { D, E }, deratizátoři = { G, F }, smetí = { H }, hlídka = { I }.
1. Řešení selským rozumem (bez vzorečků):
Postavím squattery do řady vedle sebe, první 3 půjdou na nádobí, další dva vařit, další dva na krysy, předposlední vynese smetí a poslední půjde hlídkovat na střechu. Takže kolik různých řad udělám z devíti squatterů?
9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 9!
Abych odstranila duplicitní řešení zmíněne výše ( { A, B, C } na mytí nádobí je stejná jako { B, A, C }, { C, B, A},...) musím zjistit kolika způsoby můžu seřadit tři stejné lidi?
3 * 2 * 1 = 3! = 6
=> výsledné řešení 9! musím redukovat v poměru 6 : 1 =>
9! : x = 6 : 1
x = 9! : 6
(trojčlenka)
A nesmíme zapomenout ještě na skupinu vaření, deratizátorů. Každá z nich nám rovněž způsobuje duplicitní řešení { D , E } = { E , D } => redukce 2:1 a { F, G } = { G, F } další redukce 2:1.
Po odstranění všech duplicit dostaneme výsledek
9! | = |
6 * 2 * 2 |
9! |
3! 2! 2! |
2. Řešení kombinačními čísly
Do skupiny na mytí nádobí vyberu z 9 squatterů 3. Do skupiny na vařebá vybírám 2, ale už jen ze 6ti squatterů (protože 3 už myjou nádobí). Na deratizaci mám už jen 4 z kterých vyberu 2. Atd.
( | 9 | ) |
3 |
( | 6 | ) |
2 |
( | 4 | ) |
2 |
( | 2 | ) |
1 |
( | 1 | ) | = |
1 |
9! |
3! 6! |
6! |
2! 4! |
4! | 1 = |
2! 1! |
9! |
3! 2! 2! |
3. Řešení pomocí multinomického čísla
Z devítí squatterů vyberu 3, 2, 2, 1 a 1 a přiřadím do příslušných skupin.
( | 9 | ) | = |
3, 2, 2, 1, 1 |
9! |
3! 2! 2! |