Squatteři

Příklad na kombinační a multinomické čísla.

Devět squatterů (Andrej, Boris, Cyrilka, Dáša, Emanuel, Filip, Gabo, Hedvika, Igor)  si potřebuje rozdělit domácí práce v okupovaném baráku. Přičemž je třeba 3 lidi na mytí nádobí, 2 lidi na vaření, 2 deratizátory, 1 na vynášení smetí a 1 na držení hlídky. Kolika různými způsoby si mohou práce rozdělit?

Např. Jeden způsob je: nádobí = {A, B, C}, vaření = { D, E }, deratizátoři = { F, G }, smetí = { H }, hlídka = { I }. Stejný způsob rozdělení ale jinak zapsaný je: nádobí = {B, A, C}, vaření = { D, E }, deratizátoři = { G, F }, smetí = { H }, hlídka = { I }.

1. Řešení selským rozumem (bez vzorečků):

Postavím squattery do řady vedle sebe, první 3 půjdou na nádobí, další dva vařit, další dva na krysy, předposlední vynese smetí a poslední půjde hlídkovat na střechu. Takže kolik různých řad udělám z devíti squatterů?

9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 9!

Abych odstranila duplicitní řešení zmíněne výše ( { A, B, C } na mytí nádobí je stejná jako { B, A, C }, { C, B, A},...) musím zjistit kolika způsoby můžu seřadit tři stejné lidi?

 3 * 2 * 1 = 3! = 6

 

 

 

 

   => výsledné řešení 9! musím redukovat v poměru 6 : 1 =>

9! : x = 6 : 1

x = 9! : 6

(trojčlenka)

 Nechápu redukci :(

A nesmíme zapomenout ještě na skupinu vaření, deratizátorů. Každá z nich nám rovněž způsobuje duplicitní řešení { D , E } = { E , D } => redukce 2:1 a { F, G } = { G, F } další redukce 2:1.

Po odstranění všech duplicit dostaneme výsledek

9! =
6 * 2 * 2
9!
3! 2! 2!

 

 2. Řešení kombinačními čísly

Do skupiny na mytí nádobí vyberu z 9 squatterů 3. Do skupiny na vařebá vybírám 2, ale už jen ze 6ti squatterů (protože 3 už myjou nádobí). Na deratizaci mám už jen 4 z kterých vyberu 2. Atd.

( 9 )
3
( 6 )
2
( 4 )
2
( 2 )
1
( 1 ) =
1
9!
3! 6!
6!
2! 4!
4! 1 =
2! 1!
9!
3! 2! 2!

 

3. Řešení pomocí multinomického čísla

Z devítí squatterů vyberu 3, 2, 2, 1 a 1 a přiřadím do příslušných skupin.

( 9 ) =
3, 2, 2, 1, 1
9!
3! 2! 2!
Kam dál?